过程证明

目标：证明由特征向量 和广义特征向量 构成的向量组是线性无关的。

步骤：

已知：设 若尔当块矩阵 形式为：

需证明其矩阵指数为：

证明步骤
由于

利用数学归纳法，得到：
引理：对任意解析函数 ，若尔当块 的矩阵函数满足：

证明思路（归纳法）：

考虑线性时不变系统：

其中 是状态向量， 是输入向量，，。我们需要证明：系统 是可控的，当且仅当矩阵：

的秩为 （即满秩）。这里 是一个 的矩阵。

系统的可控性可以通过可控性Gramian矩阵 来定义：

系统是可控的当且仅当 是非奇异的（即可逆）。我们的目标是证明 的秩为 与 非奇异等价。

正向证明： 满秩 非奇异

假设 的秩为 。这意味着 的列向量 张成整个 ，即任意向量 都可以表示为这些列向量的线性组合。

现在考虑 的性质。状态转移矩阵 可以用泰勒级数展开：

因此：

这表明 是 （）的线性组合。进一步地， 是由 的积分构成的，因此 也可以看作 的某种加权线性组合。注意到，根据Cayley-Hamilton定理， 及更高次项可以表示为 的线性组合，所以 的生成空间实际上由 的列向量决定。

由于 满秩，其列向量张成 。假设 不是非奇异的，即存在非零向量 使得：

代入 的定义：

因为积分中的被积函数非负，这要求：

对所有 成立。由于 是解析函数，这等价于它的所有阶导数为零，即：

这意味着：

特别是对于 ，有：

即 。但 的秩为 ，其列向量张成 ，对于任意非零 ， 是不可能的（因为 不可能与整个 正交，除非 ）。这与 矛盾，因此 只能在 时成立，即 是正定的，从而是非奇异的。

逆向证明： 非奇异 满秩

现在假设 是非奇异的，但 的秩小于 。如果 的秩小于 ，则其列向量 张成的空间维度小于 ，存在非零向量 ，使得 与 的列空间正交，即：

根据Cayley-Hamilton定理， 可以表示为 的线性组合，因此对于所有 ， 也是 的线性组合，从而：

考虑 ：

于是：

这表明对于非零 ，。但 是非奇异的，意味着它是正定的，即对于所有 ，。这与 矛盾，因此假设不成立， 的秩必须为 。

我们需要证明 ，其中 和 分别是原系统和变换后系统的能控性矩阵。

总结： 通过状态变换 （非奇异）得到的等价系统，其能控性矩阵 等于原系统的能控性矩阵 左乘变换矩阵 ()。由于非奇异矩阵 不改变 的秩，因此两个系统的能控性矩阵的秩相等。这意味着，状态可控性在非奇异状态变换下是不变的。

Proof:

由凯密-哈密顿定理可知