现控例题

将状态方程转化为标准形

有重特征值但有n个线性无关的特征向量

矩阵为：

其特征值为：

其中有两个重特征值。

对应于的特征向量可由下列方程表示：

易见，的秩是 1，它是三维的。因而其基础解系的维数为：

因此，向量有两个线性无关解，分别为：

对应于特征值的特征向量可由下列方程求得：

解得：

由于对应于重特征值的线性无关的特征向量数等于重特征值数，因此仍然有 3 个线性无关的特征向量。这些特征向量可以构成变换矩阵：

变换后的系统矩阵为：

m重特征值只有一个相应的特征向量

例 2.5.5 试将下列状态方程化为若尔当标准形：

(1) 求矩阵的特征值

矩阵有二重特征值和单特征值。

(2) 求的特征向量

解得：

(3) 求的广义特征向量

(4) 求的特征向量

(5) 构造变换矩阵并得到标准形

变换矩阵：

转换后系统：

Calculating the state-transition Matrix

Direct Computation Method of State-transition Matrix

Linear Transformation Method of State-transition Matrix

Answer: The eigenvalues of a matrix are , so it can be diagonalized.
Hence,

Jordan Form Method of State-transition Matrix

例 3.2.4 试求下列矩阵的矩阵指数.

解因为

所以, 矩阵有二重特征值 , 一重特征值 , 求与之相应的特征向量和广义特征向量, 可得

所以, 可得变换矩阵

且得

由此可得

Laplace Transform Method of State-transition Matrix

Find the state-transition matrix of the following system:

The initial condition is:

Try to find the zero-input response of the system.

Answer:

Hence

The Cayley-Hamilton Theorem Method of State-transition Matrix

Without Jordan Block

用化为有限项法求矩阵的矩阵指数。

解先求出矩阵的特征值 , 则有

即可得出

With Jordan Block

已知矩阵

用化为有限项法求矩阵的矩阵指数。
解矩阵的特征方程为 , 特征值为。
对于 , 有

对于 , 有

因为是二重特征根, 故还需补充方程

从而可联立求解得

由此可得

Controllability Decomposition

•

• Let

Observability Decomposition

Let

State Transition Matrix of a Time-Varying System

Commutable

Suppose:

Calculate the solution .

Solution

Verify:

可以通过验证

于是可以计算

（矩阵指数的计算有四种方法）

Common method

首先求状态转移矩阵 . 当时系统状态方程为:

求解可得

再取和 (初始条件的选取需要是线性无关的)，可得到两个线性无关解:

于是，系统的一个基本解阵为 .

Lyapunov

Lyapunov证明不稳定

Analyze the stability of system

选用能量函数，该函数在原点附近的邻域内是正定的，因为对于任意非零向量，都有，且。

接下来求对时间的导数：

已知

其中，。

根据求导公式

将和代入可得：

对于任意非零向量，，即在原点附近的同一邻域内也是正定的。

根据李雅普诺夫不稳定定理，该系统在原点处是不稳定的。

Lyapunov 充要条件

分析稳定性。

选取，利用待定系数法求解

显然P是对称的，判断P的正定性，可以验证顺序主子式都大于0，即

Krasovsky Method for Lyapunov function

考虑非线性系统：
其平衡状态在原点。

系统的雅可比矩阵为：
选择 (单位矩阵，是正定对称的)，则：
的主子式为：
(当 )
(当 )

因此，是正定的，系统在原点渐近稳定。

能量函数：
当时，，因此平衡状态是大范围渐近稳定的。

Feedback

Design of observer gain

给定系统矩阵：

设计观测器增益，使得观测器的极点位于。

检查能观性 (Observability)
判断系统是否能观。需要计算能观性矩阵的秩。因此，能观性矩阵为：
矩阵是一个的单位矩阵，其行列式为，所以它的秩为 2。
系统的阶数是 2，能观性矩阵的秩等于系统的阶数，因此系统是能观测的。
计算
设观测器增益矩阵。
首先计算 :
然后计算 :
计算特征多项式
首先计算 :
然后计算其行列式：
这个是闭环观测器的特征多项式。
计算期望的特征多项式
期望的极点在，因此期望的特征多项式为：
展开得到：
比较系数求解
将闭环观测器的特征多项式与期望的特征多项式进行比较：
实际特征多项式：
期望特征多项式：

比较的系数：

比较常数项：

因此，观测器增益矩阵为：
写成最终形式

具体的，

（这个系统框图怎么画）

（图里的是笔误，应该是）

Optimal Control

Euler Equation

证明为什么两点之间线段最短。

要证明两点之间线段最短，相当于在两点之间找一个轨迹函数，使得轨迹长度最短。

由曲线积分的知识，
连接两点和的曲线长度为：
相当于我们的。不显含，所以。
列出欧拉方程，为
所以对该式进行化简，可以得到，为另一个常数，对应着一条的直线，其中常数由边界条件来确定。

变分法一般最优控制

例：一阶系统的二次型性能指标 (无约束控制)
选择控制以最小化性能指标：
约束于系统动态方程：
其中为常数。

解：
首先构造哈密顿函数。这里，，。
协态方程为：
最优性条件为：
终端条件 (由于 )：
将代入状态方程：
我们得到了关于和的线性常微分方程组：
这是一个两点边值问题，初始条件为，终端条件为。
该线性系统的解通常形如，其中 (通过求解矩阵的特征值得出)。常数可由边界条件确定。
一旦解出，最优控制也随之确定。