现控例题

矩阵 为：

其特征值为：

其中有两个重特征值。

对应于 的特征向量可由下列方程表示：

易见， 的秩是 1，它是三维的。因而其基础解系的维数为：

因此，向量 有两个线性无关解，分别为：

对应于特征值 的特征向量 可由下列方程求得：

解得：

由于对应于重特征值的线性无关的特征向量数等于重特征值数，因此仍然有 3 个线性无关的特征向量。这些特征向量可以构成变换矩阵 ：

变换后的系统矩阵 为：

例 2.5.5 试将下列状态方程化为若尔当标准形：

(1) 求矩阵 的特征值

矩阵 有二重特征值 和单特征值 。

(2) 求 的特征向量

解得：

(3) 求 的广义特征向量

(4) 求 的特征向量

(5) 构造变换矩阵并得到标准形

变换矩阵：

转换后系统：

Answer: The eigenvalues of a matrix are , so it can be diagonalized.
Hence,

例 3.2.4 试求下列矩阵 的矩阵指数.

解 因为

所以, 矩阵 有二重特征值 , 一重特征值 , 求与之相应的特征向量和广义特征向量, 可得

所以, 可得变换矩阵

且得

由此可得

Find the state-transition matrix of the following system:

The initial condition is:

Try to find the zero-input response of the system.

Answer:

Hence

•

• Let

=