现代控制理论Chapter6

对于一个LTI系统
一个很典型的问题是让 能在任意起始条件下，都能回到原点，并且保持不变。对目标位置不是原点的情况，也可以通过坐标变换让目标位置变换为原点。

若系统 能控，在能控性的章节中已经学到，通过
可以在任意短的时间 内让状态达到目标位置，并且是最小能量的。

但是这种方式作为开环控制，对各种扰动非常 sensitive，并且计算量很大，并不常用。

为了解决这个问题，我们引入状态反馈的概念。

令输入

则

若矩阵并不稳定，或原系统的收敛速度太慢，我们可以通过选取适当的 ，改善新系统的稳定性或收敛速度。

状态反馈的示意图如下，

新系统的闭环状态方程为

Proof:
若系统 能控，则能控性矩阵满秩，将 改变为 ，能控性矩阵也随之改变，可能不再满秩，或者说能控性矩阵的秩有下降的趋势。

构造两次相互抵消的反馈，第一次，第二次在第一次的基础上构造；每次引入反馈我们都发现新能控矩阵的每一个列向量都可以表示为旧能控性矩阵列向量的线性组合，即rank有下降的趋势。但是两次相互抵消反馈后，系统回到最初，秩与原来相同，说明增加反馈后矩阵的秩并不变小，故而未改变系统的能控性。

可能不再能观是因为零极点相消。

通过极点配置，可以改善系统的稳定性，加快系统收敛速度。

该结论对于多输入多输出(MIMO)系统来说同样成立。

一个naive idea是，根据我们想要的特征值，算出期望特征方程，并与 进行比较，令系数一一对应，即可得到 K的取值。（该方法对于MIMO系统并不成立）

对于任意一个能控系统，可以通过等价变换将系统化作能控标准型。

闭环矩阵 的形式为：

其中 。其特征多项式为：

若期望闭环特征多项式为 ，则通过比较系数可得：

形成 。

若原系统通过变换矩阵 化为能控标准型，从标准型的反馈增益反推原系统的反馈增益， ，通过这种方式即实现了任意极点配置。

在实际求解过程中，只要系统能控，并不一定要化作能控标准型，直接比较期望特征方程和实际特征方程的系数即可。

状态反馈只改变系统的极点，并不改变系统的零点。若此过程中新的极点与零点相同，则会导致零极点相消从而影响系统能观性。
可通过求 来验证。
也可以画出框图表示来理解。

引入状态反馈只是改变了积分器下半部分的系数，对应分母的系数，显然对分子并无影响。

对于一个单输入系统，反馈增益 K 是唯一的。

对于不能控的系统，对其做能控性分解，

,
令
那么
引入状态反馈

由于 能控， 的特征值可以任意配置，而 的特征值无法通过状态反馈改变，被称作 uncontrollable modes

只有当系统中所有的uncontrollable modes稳定，即
我们才说这个系统是可镇定的(stabilizable)

另外，对于正特征值，也可以使用PBH判据判断是否可镇定

如果对于所有满足 的特征值 ，都有

Exx
给定如下系统 （1）试确定系统是否能控？ （2）试确定系统是否可以镇定？如果可以，要设计一个使系统镇定的控制器；否则，讨论原因。

一般来说，我们很难拿到系统的全部状态，只能观测到系统的输出，所以引入了输出反馈(Output Feedback)的概念。

选取输入

对比状态反馈

状态反馈的自由度更大，而输出反馈的 受到矩阵 的限制，作用有限；可以把输出反馈当做是一种特殊的状态反馈。
输出反馈并不改变系统的能观性或能控性。

能否通过系统的输出计算出系统的各个状态？自然的，我们联系到之前学过的能观性。

让系统能观时，我们可以通过
来得到系统的状态，但是该公式计算复杂，并且需要我们知道，由于是开环非常 sensitive，并不实用。

可以通过计算机构造一个实时可算的系统作为观测器，维持相同，只要我们保证构造的输出和原系统的输出相同，则构造系统的各个状态和原系统也能够匹配。

该观测器叫做龙伯格观测器（Luenberger observer）【可以理解为一种数字孪生】

原始系统为

观测器系统为

这里的关键在于，我们希望基于 这样的输出之差的反馈，使得，即观测得到的状态与原状态尽可能接近；

将 代入，得到
令

目标：

所以关键在于如何设计合适的

联想到状态反馈中设计 中的，前提是系统 能控；这里希望任意配置 ，通过类比不难想到是和系统 有关，但是不能直接推知为 的能控性要求，因为矩阵乘法的顺序不一样。

对任意一个矩阵取转置，它的行列式的值不变， 取转置，得到 。

可以对比以下三个特征多项式

类比中系统能控，可以推演这里要求完全能控 完全能观。

对能控性矩阵秩为 的式子取转置即可证明。

同样，我们也可以从能控标准型的形式去证明极点的任意配置性，对于非能控标准型的矩阵，只要其能控，可以将其转化为能控标准型去求解所需 矩阵，并乘以变换矩阵的逆得到变换前的

设计完 后，不要忘了最终写成如下形式

Exx:
现控例题 > Design of observer gain

在上一节讨论中，我们知道如果系统 能观，那么系统的极点可以任意指派；

如果系统不能观，类似的，可以对系统做能观性分解：

Let , then
左上角元素能观，则特征值可以任意指派；
不能观，特征值无法改变；

考虑这样一个系统

我们希望通过状态反馈设计 ，然后为观测器设计

能否将观测器观测到的状态用于状态反馈？

令

则

写成一个矩阵的形式，
令

得到增强系统
对于系统
其行列式

由此导出了大名鼎鼎的分离原理

因此，当我们通过状态反馈设计好K，通过观测器设计好L之后；如果我们用 替代 ，并不需要重新设计K；将基于估计状态的控制器 应用到系统中，也不需要重新设计L。

（L和K一起的设计变成分开设计即可）

从指令输入 到系统输出 的传递函数与没有观测器时的传递函数是相同的，即： 这意味着使用状态观测器时，系统的零极点特性（由传递函数决定）与控制器 的极点有关，而与观测器的极点无关 ，所以控制器的设计（K 的选择）和观测器的设计（L 的选择）可以独立进行。

只要观测器是稳定的，控制器也是稳定的，整个闭环系统就是稳定的。
所有特征值、 所有特征值都有负实部。

用框图表示：

（英文班不考，中文班题目有涉及）

在分离原理的讨论中，观测器的维度与系统状态的维度 n 是相同的。

而在实际系统中，系统的输出 本身就包含有一定的状态变量信息，当输出变量个数为q时，包含q个状态变量信息；

既然如此，我们就没有必要再去估计所有的n个状态变量；

如果输出 的维度 ，我们只需要估计那些不能通过 直接得到的 个状态变量。这样可以降低观测器的维度，从而简化其实现并减少计算量。

这种只估计部分状态的观测器被称为降阶观测器( Reduced Order Observer)，也称为龙伯格观测器

设计降阶观测器的关键在于如何将系统变换到一个特定的形式，使得一部分状态与输出直接对应，然后只对剩余部分设计观测器。

以下内容由Gemini结合课件生成，展示了设计降维观测器的详细步骤

步骤 1: 系统变换

我们需要找到一个可逆的变换矩阵 ，使得在新坐标系下 ，系统的输出方程 具有特殊形式 。 这意味着在新坐标系下，前 个状态 就是系统的输出 (或者经过一个已知的可逆变换得到)。

变换后的系统状态方程为 和 ，其中 ，。

将变换后的状态向量 分成两部分 ，其中 （对应输出 ），（需要估计的部分）。
系统方程可以写成：
所以， 是已知的。

步骤 2: 构造子系统用于估计

我们的目标是估计 。从变换后的状态方程中，我们可以分离出与 相关的动态：

由于 是已知的，我们可以将第一个方程改写为：
我们将这个方程的左边定义为一个新的“输出” ，即 。
而 的动态方程为：
我们将 定义为一个新的“输入” 。

于是，我们得到了一个针对 的子系统，其维度为 ：
现在，我们可以为这个子系统 设计一个全阶观测器。
一个重要的结论是：如果原始系统 是可观测的，那么这个子系统 也是可观测的。

步骤 3: 设计降阶观测器

对于上述 维的子系统，其观测器可以设计为：
将 和 代回：
整理后得到：

这个观测器动态中包含了输出 的导数 。在实际应用中，对信号进行微分操作通常会放大噪声，因此我们希望避免直接使用 。

步骤 4: 避免使用 (Luenberger的技巧)

为了避免使用 ，引入一个新的变量 。
那么 ，对其求导 。
将这些代入上一步的 方程中：
消去 并整理，得到 的动态方程：