现代控制理论Chapter4

如果对于任意初始状态x(0) = x0和任意目标状态x1，存在一个输入，能在有限时间内将x0驱动到x1，就说系统(A, B)称为能控的。

在Ch3中，我们已经知道系统的状态响应方程：

为了满足定义，我们希望在输入项的作用下，能够抵消掉初始状态的值，并且产生一个目标状态的值，为此，我们构造如下

我们希望是一个方阵，能够方便的求逆，所以对其乘以
因此可以令输入项为：
抵消掉 矩阵，产生一个单位阵。
代入原式之后可以得到：

因此得到以下定理：

也即，只有当 矩阵非奇异时，可以对它求逆矩阵，这个时候系统才稳定。说明所有状态方向都可以被控制输入影响到。
如果奇异，说明有某些状态方向无论如何施加控制输入，都无法到达，也就是说系统不可控。

如果矩阵非奇异，即可逆时，根据我们的构造过程，显然系统能控，充分性得证。

只要有某一个时刻 时 非奇异，那么对于任意 的时刻该矩阵都非奇异。

必要性：
即证明系统能控时， 矩阵必然非奇异（可逆）

采用 反证法 的思想：
假设 不可逆，这意味着W矩阵有零特征值和特征向量，所以

which implies

加入系统此时仍然可控，我们可以把一个非零的状态 转化为 .
因此

.
然而作为特征向量
出现了矛盾，这说明必须是非奇异的，必要性得证。

若系统能控，在控制律
的作用下，可在任意短时间内将非零状态转移到零状态，我们把下面的矩阵叫做格拉姆矩阵：

该判据基于对 的泰勒展开得到，当 矩阵满秩时，可以推出 矩阵奇异，故而系统能控。
证明参考：过程证明 > 能观性判据2 （rank条件）

对于证明过程中提到的控制输入：

能够将 转换到
这是一个开环控制器，非常的敏感，

若系统可控，必定可以得出系统稳定。

能观性表示的是根据系统输出 和输入 反映状态矢量 的能力。

如果对于任何未知的初始状态 ，存在一个有限的 ，从而可以根据 和 在 上精确地确定 ，则称该系统为能观系统。

由于输入 是可以任意给定的，可以令 ，从而能观性只依赖于矩阵 和矩阵 。

将 前的系数构造为方阵

对 进行积分

这与可控性的形式是很像的，所以得到
其中
能观的条件：

同样，我们期待一种更简单的方法，将 进行泰勒展开，表示为
的线性组合。

可以得到

等价于

基于能观性，可以得到一个 的估计器
这是一个开环估计器，在理想情况下估计是准确的。

能控能观具有鲜明的对偶性，
对于能控

定理： 考虑线性时不变系统 。若存在一个非奇异矩阵 （即 满秩，可逆），进行状态变换 ，得到等价系统 ，其中 且 。那么，原系统 是状态可控的，当且仅当变换后的系统 是状态可控的。

证明参考 过程证明 > 等价变换不改变系统的能控能观性

只要 非奇异，就有

能观性的证明同理。

等价变换并不改变系统的能控性/能观性。（不改变传递函数，不改变极点，不改变稳定性）

对于任意能控/能观系统，都可以通过线性变换 ，转化为
系统被分解为Jordan Block Systems

对于对角形式

B矩阵的每一行都不能全零，确保输入通道能够影响该状态变量。
C矩阵的每一列都不能全零，使得每个状态分量都能在输出中留下痕迹。

对于Jordan Form
若，有一个若当块，该若当块的输入尾行和输出首列需不全0

若 ，对于如图所示的情况，有两个若当块，每一个的输入尾行和输出首行都不全0，并且要求这些行之间和这些列之间线性无关

一般定理 (General Theorem)

能控 ⇔ 对每个 ，集合

在输入空间中线性无关。

能观 ⇔ 对每个 ，集合

在输出空间中线性无关。

对于一个SISO系统：

状态方程表达形式的多样性与传递函数的唯一性反映了系统描述中的冗余可能性。通过能控性与能观性分解的卡尔曼分解过程，我们实际上是在识别并消除这种冗余，因为分解后得到的矩阵维度通常会减小，而系统的输入输出特性（即传递函数）保持不变。这一过程本质上是寻找系统的最小实现，即使用最小维度的状态空间来完整描述系统动态特性，从而在保持系统传递函数不变的前提下，获得最为精简且无冗余的状态空间表达。

对于一个给定的传递函数（或传递矩阵） ，可以找到多个状态空间表示 使得：

这些不同的状态空间表示称为 的实现 (Realization)。

定义：
如果一个实现 状态空间的维数 （即矩阵 的阶数）在所有可能的实现中是最小的，则称该实现为 的最小实现 (Minimal Realization)。

如果一个系统(A,B,C,D) 是最小实现，当且仅当 (A,B) 能控且 (A,C) 能观。

给定一个传递函数