现代控制理论Chapter2
State-Space-Mode
控制系统的状态空间描述
Basic Concepts
State Variable： 从系统变量中选出来的，最小线性无关
需要确保最小性（Smallest），独立性（LI）
对于一个系统，选取的State Variable未必unique，但是数目总是相同的
一般来说，n等于
- 描述系统的微分方程（DE）（动态方程）的阶数
- 系统独立储能单元的个数
n个彼此独立的状态变量构成一个状态向量，即
状态向量的选取并不唯一，任意选取的两个状态向量为线性非奇异变换关系。
设原状态向量为x，新状态向量为
- 变换矩阵P必须可逆（行列式≠0）
- 系统本质特性不变（特征值/稳定性不变）
- 只是状态空间的坐标变换
状态方程:
其中：
- A: 系统矩阵(n×n)
- B: 输入矩阵(n×p)
- C: 输出矩阵(q×n)
- D: 直接传递矩阵(q×p)
A first-order matrix differential equation form:
Establish State-space Model
Block Diagram Method
将传递函数拆分为若干
则原系统的方框图可以用若干积分环节重构
对于每个积分环节，列状态方程，最终整理成矩阵的形式。
Physical Principles Analysis
基本步骤：
- 根据系统特性选择状态变量（通常选择与储能元件相关的物理量）
- 应用物理定律建立方程（如牛顿定律、基尔霍夫定律等）
- 整理为标准状态空间形式
- 状态变量选取的数量等于系统中独立储能元件的个数。
- 机械系统：位移/速度
- 电路系统：电容电压/电感电流
Transfer function method
Given a transfer function
- 严格正则系统（m < n）：
- 可直接转换为状态空间表达式
- 正则系统（m = n）：
- 需先提取常数项：
- 需先提取常数项：
- 非正则系统（m > n）：
- 物理不可实现
- 需先通过长除法降阶：
考虑微分方程如下，对应传递函数分子为常数，分母为n阶
写成向量矩阵的形式
我们只考虑物理可实现的系统，则任意一个SISO系统可以写成：
若d不为0，则表示直接从输入到输出，只考虑前边的一部分，将分子和分母拆分为两部分：
第一部分：
第二部分：
选取中间的z为状态变量，则有
对应状态空间方程
输出可以写成
State-space representation in this form can be called controllable canonical form(可控标准型)
直接法 A Direct Method
根据上述结论，由传递函数可以直接写出状态空间方程，进而画出方框图表示：
串联分解法 Tandem decomposition
将传递函数分解为串联的形式，即若干项相乘：
or
Example:
把每个积分器的输出作为状态变量，不难写出状态空间表达式
并且主对角线的元素对应三个极点
并联分解法 Parallel decomposition
将传递函数分解为并联的形式，即若干项相加：
无重根情况：
有重根情况（假设只有一个重根
分子为一次的项对应的u前系数为1，分子为高次的项对应u前系数为0，而A矩阵该行对角线右侧会多一个1。
则状态方程可以写为：
矩阵A的形式被称作Jordan normal form.(约当标准型)
从状态空间到传递函数
已知状态空间方程如下，欲得传递函数
其中
补充说明：
- 矩阵特征值
- 伴随矩阵的计算方法：
- 先计算每个元素的余子式（删除该行该列后的行列式）
- 组成余子式矩阵并进行转置
对于
在离散系统中，建立状态方程可参见 计算机控制技术 > 状态变量表示
Composite System
Parallel connectoin
考虑两个系统
两个系统并联，有
并联系统的状态空间方程可以写成：
Series connectoin
考虑两个系统
两个系统串联，有：
系统的状态空间方程可以写成：
Feedback
考虑两个系统
其中
可以得到
系统的状态空间方程：
求传递函数：
所以：
解：由系统方框图写出各输入量和误差之间的关系
因而开环传递函数矩阵为：
反馈环节的传递函数矩阵为：
计算系统的闭环传递函数矩阵：
Linear Transform
一个系统可以用许多不同的状态空间表达式来表述，状态变量的不同选取，其实是状态变量的一种线性变换或坐标变换。
令
其中
那么用
其中
将状态方程变换为对角标准形
若n个特征值两两相异，则n个特征向量线性无关，于是我们有：
对于系统
如果系统矩阵A具有友阵形式，（能控标准型 Control Canonical Form）
将状态方程化为若尔当标准形
当矩阵A含有相同的特征值时，可以分为两种情况讨论：
- 矩阵A有m重特征值，但仍然存在n个线性无关的特征向量，那么矩阵A仍可化为对角标准形。
Exx: 现控例题.md > 有重特征值但有n个线性无关的特征向量 - 矩阵A的m重特征值只有一个相应的特征向量，即线性无关的特征向量数少于n，则矩阵A不能对角化，只能化成准对角标准形(Jordan Normal Form)
给定系统状态方程，设其特征值为
式中
称为若尔当块。
当系统矩阵
具有重特征值，且线性无关的特征向量数少于 时，通常不能通过变换实现状态变量间的完全解耦，若尔当标准形是可能达到的最简耦合形式。
对于重特征值
式中，
代数重数（Algebraic Multiplicity）： 特征方程里某一特征根的重数
几何重数（Geometric Multiplicity）： 该特征根对应的线性无关特征向量个数=
计算方法：
判定条件：
- 若对于所有特征值，代数重数 = 几何重数 ⇒ 可对角化
- 若存在特征值的代数重数 > 几何重数 ⇒ 只能化成Jordan标准型
（其中n为矩阵A的维数）
特征值及传递函数矩阵的不变性
线性变换不改变传递函数
- Transformation relations:
Proof:
即
等价系统有相同的极点
即证变换前后特征值相同